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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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4. Sabiendo que
b) la función continua gg satisface ∫0x2g(t)dt=x2(1+x),x>0\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x), x>0, calcule g(2)g(2).

Respuesta

Para obtener ahora g(2)g(2) vamos a usar los mismos razonamientos que en el item anterior. 

Sabemos que g(x)g(x) verifica esta igualdad:

∫0x2g(t)dt=x2(1+x)\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x)

∫0x2g(t)dt=x2+x3\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2} + x^3

Derivamos ambos lados de la igualdad, para derivar lo de la izquierda aplicamos el TFC como veníamos haciendo:

g(x2)⋅2x=3x2+2xg(x^2) \cdot 2x = 3x^2 + 2x

Y ahora, pensemos un segundo... si queremos obtener g(2)g(2), ¿en qué xx debería evaluar esto? Fijate que si llego a evaluar en x=2x=2 me va a quedar g(22)=g(4)g(2^2) = g(4) y eso no nos sirve! 

En cambio, si evaluamos en x=2x= \sqrt{2}, nos queda: g((2)2)=g(2)g((\sqrt{2})^2) = g(2)

Entonces, despejamos g(x2)g(x^2)

g(x2)⋅2x=3x2+2xg(x^2) \cdot 2x = 3x^2 + 2x

g(x2)=3x2+2x2xg(x^2) = \frac{3x^2 + 2x}{2x}

g(x2)=3x2+1g(x^2) = \frac{3x}{2} + 1

Evaluamos en x=2x= \sqrt{2}

g(2)=322+1g(2) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + 1

Y listo :)
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Benjamin
8 de junio 8:46
buenas, una duda , por que queda 3x/2 +1? de donde sale el +1?
0 Responder
Flor
PROFE
8 de junio 17:19
@Benjamin Hola Benja! Ahí distribuí el 2x2x del denominador, el 11 aparece porque te queda 2x2x\frac{2x}{2x}, se simplifican y da 11 ;)
0 Responder