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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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4. Sabiendo que
b) la función continua $g$ satisface $\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x), x>0$, calcule $g(2)$.

Respuesta

Para obtener ahora $g(2)$ vamos a usar los mismos razonamientos que en el item anterior. 

Sabemos que $g(x)$ verifica esta igualdad:

$\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x)$

$\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2} + x^3$

Derivamos ambos lados de la igualdad, para derivar lo de la izquierda aplicamos el TFC como veníamos haciendo:

$g(x^2) \cdot 2x = 3x^2 + 2x$

Y ahora, pensemos un segundo... si queremos obtener $g(2)$, ¿en qué $x$ debería evaluar esto? Fijate que si llego a evaluar en $x=2$ me va a quedar $g(2^2) = g(4)$ y eso no nos sirve! 

En cambio, si evaluamos en $x= \sqrt{2}$, nos queda: $g((\sqrt{2})^2) = g(2)$

Entonces, despejamos $g(x^2)$

$g(x^2) \cdot 2x = 3x^2 + 2x$

$g(x^2) = \frac{3x^2 + 2x}{2x} $

$g(x^2) = \frac{3x}{2} + 1$

Evaluamos en $x= \sqrt{2}$

$g(2) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + 1$

Y listo :)
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Avatar lautydamian 3 de junio 19:55
Buenas Flor,una consulta ¿De dónde sale el 2x que está multiplicando a g(x^2)? No estaría entendiendo por que aparece o que es lo que hiciste para que aparezca.
Avatar Flor Profesor 4 de junio 08:39
@lautydamian Hola Lauty! Eso es porque cuando estamos en este punto:

$\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2} + x^3$

y derivamos ambos lados de la igualdad, para derivar lo que está a la izquierda (o sea, para derivar $\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t$) tenemos que usar el TFC 

Esa clase la llegaste a ver? 

Acordate que lo que teníamos que hacer era evaluar en $x^2$ (donde dice $t$ reemplazo por $x^2$) y después multiplicábamos por la derivada de ese límite de integración que dependía de $x$, o sea, en este caso multiplicamos por la derivada de $x^2$ que es $2x$ :) Por eso aparece, se ve?
Avatar lautydamian 4 de junio 09:30
@Flor Aaah listo, muchas graciass. Sisi la había visto pero venía estudiando desde la mañana y tanto numero me saturó jaja

Avatar Benjamin 8 de junio 08:46
buenas, una duda , por que queda 3x/2 +1? de donde sale el +1?
Avatar Flor Profesor 8 de junio 17:19
@Benjamin Hola Benja! Ahí distribuí el $2x$ del denominador, el $1$ aparece porque te queda $\frac{2x}{2x}$, se simplifican y da $1$ ;)
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