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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Sabiendo que
b) la función continua $g$ satisface $\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x), x>0$, calcule $g(2)$.
b) la función continua $g$ satisface $\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x), x>0$, calcule $g(2)$.
Respuesta
Para obtener ahora $g(2)$ vamos a usar los mismos razonamientos que en el item anterior.
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Sabemos que $g(x)$ verifica esta igualdad:
$\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2}(1+x)$
$\int_{0}^{x^{2}} g(t) d t=x^{2} + x^3$
Derivamos ambos lados de la igualdad, para derivar lo de la izquierda aplicamos el TFC como veníamos haciendo:
$g(x^2) \cdot 2x = 3x^2 + 2x$
Y ahora, pensemos un segundo... si queremos obtener $g(2)$, ¿en qué $x$ debería evaluar esto? Fijate que si llego a evaluar en $x=2$ me va a quedar $g(2^2) = g(4)$ y eso no nos sirve!
En cambio, si evaluamos en $x= \sqrt{2}$, nos queda: $g((\sqrt{2})^2) = g(2)$
Entonces, despejamos $g(x^2)$
$g(x^2) \cdot 2x = 3x^2 + 2x$
$g(x^2) = \frac{3x^2 + 2x}{2x} $
$g(x^2) = \frac{3x}{2} + 1$
Evaluamos en $x= \sqrt{2}$
$g(2) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + 1$
Y listo :)
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